Mapa, terytorium i matematyka. Czemu Rosja i Europa wydają się gigantyczne?

Chłopcy w wieku szkolnym często przejawiają tendencje do zbieractwa. Mając 10 lat, próbowałem zbierać znaczki, ale okazało się to niebywale nudnym zajęciem – w PRL roku 1983 możliwości powiększania zbiorów (a kiedy jesteś zbieraczem, odczuwasz wielki przymus powiększania zbiorów) były raczej ograniczone: ile razy można odklejać nad parą z czajnika znaczek z pocztówki, którą ciotka przysłała z Budapesztu? Przerzuciłem się na mapy.

Tu możliwości były większe. Obrałem rozmaitych znajomych moich rodziców z map turystycznych i samochodowych, miałem zinfiltrowane wszystkie okoliczne księgarnie, potem zaś – gdy zacząłem się wypuszczać poza dzielnicę – odkryłem, że na warszawskim Nowym Świecie, w placówce handlującej książkami z ZSRR, znajduje się bezdenna kopalnia map i atlasów. W domu ostrzeżono mnie wprawdzie, że w sowieckim atlasie żadne miasto nie znajduje się na swoim miejscu, a niektórych w ogóle nie ma, ale to mnie nie zniechęciło.

Wkrótce jednak się zorientowałem, że w wypadku map rzeczywiście istotne jest nie tylko to, co przedstawiają, lecz także to, czego na nich nie uwidoczniono. Byłem, przykładowo, w posiadaniu amerykańskiej mapy metropolii Minneapolis-St. Paul: graficznie rzecz ujmując, składała się w zasadzie wyłącznie z dróg przecinających się pod kątem prostym, jakby niczego innego tam nie było. Miałem piękną mapę NRD, pośrodku której widniała biała dziura w kształcie Berlina Zachodniego. Miałem wreszcie plan Warszawy (w formie książeczki), na którym w miejscu, gdzie mieszkaliśmy, znajdowało się coś na kształt pola kapusty – plan pochodził wówczas ledwie sprzed dekady. Krótko mówiąc, byłem kartograficznym maniakiem i chyba nadal nim jestem, choć obsesja przeniosła mi się do telefonu w postaci pięciu czy sześciu aplikacji.

Dlaczego nie da się wiernie przedstawić Ziemi na płaskiej mapie?

Nie muszę więc chyba dodawać, jak bardzo ucieszyła mnie wieść o ukazaniu się książki „Mapomatyka. Jak mapy prowadzą nas i zwodzą” Pauliny Rowińskiej. Rowińska, matematyczka i popularyzatorka nauki, wydała tę świetną rzecz najpierw po angielsku w brytyjskim Picadorze, dlatego otrzymujemy ją w przekładzie.

„Mapomatyka”, na co wskazuje tytuł, jest poświęcona nie tyle samym mapom, ile ich fundamentalnym związkom z matematyką. Za prostym, zdawałoby się, odwzorowaniem trójwymiarowej przestrzeni na dwuwymiarowej mapie kryje się potężny naukowy aparat, mający zapewnić możliwie największą wierność tego odwzorowania. Nie jest ono jednak wolne od zniekształceń. Trzeba wiedzieć, jak powstaje i jakie ma matematyczne ograniczenia. „W przeciwnym razie będziemy wyciągać pochopne wnioski i przejmować świadome lub nieświadome uprzedzenia tworzących je kartografów” – pisze autorka.

No właśnie – dlaczego na mapie świata Rosja jest tak potwornie wielka? Podobnie zresztą jak Alaska czy północna Kanada. Rosja jest spora, fakt, ale z pewnością nie dwukrotnie większa od Afryki (w istocie jest prawie dwukrotnie mniejsza). Jakże miło takie zafałszowane odwzorowanie wpływa na tamtejsze imperialne nastroje. Zresztą Europa także występuje w powiększeniu względem terenów położonych bliżej równika.

Problem, rzecz jasna, w tym, że Ziemia jest kulista, a kartka papieru płaska. Tylko globus mówi – z grubsza – prawdę, ale trudno wędrować z globusem pod pachą. Zmapowanie sferycznej powierzchni jest niełatwym zadaniem, choćby dlatego, że na owej powierzchni „znaczna część uczonej w szkole geometrii przestaje obowiązywać. Wszystkie zależności dotyczące kątów, prostych i trójkątów, których uczą się kolejne pokolenia, milcząco zakładają płaską powierzchnię. Geometria robi się dużo bardziej skomplikowana w chwili, kiedy krzywizna przestaje równać się zeru” – tłumaczy Rowińska. – „(...) Również odległości na kuli zachowują się inaczej niż na płaszczyźnie”. Samolot z San Francisco do Monachium będzie leciał nad Grenlandią, bo to najkrótsza trasa po łuku, chociaż wyrysowana na płaskiej mapie wygląda absurdalnie.

Dlaczego Rosja i Europa są powiększone na mapie świata?

Mapa stara się oddać powierzchnię, kształty i odległości, ale nigdy nie zdoła wiernie ująć tych trzech wartości naraz. Z czegoś trzeba zrezygnować, na coś postawić. Do tego służą rozmaite rodzaje odwzorowań. Odwzorowania wiernopowierzchniowe zachowają pola powierzchni, ale – zgodnie z dowodem przeprowadzonym w pierwszej połowie XIX w. przez Carla Friedricha Gaussa – szlag trafi kształty i odległości. Odwzorowania równokątne zachowają kształty i kąty: to one odpowiadają jednak za przeskalowaną Rosję i zmniejszoną Afrykę. Najsłynniejsze z nich, XVI-wieczne odwzorowanie walcowe Merkatora, pochodzi z epoki wielkich odkryć geograficznych – miało na celu pomóc żeglarzom w ustalaniu kierunku.

Na mapie nieuwzględniającej krzywizny Ziemi wyznaczenie kursu po linii prostej może się zakończyć pływaniem po spirali. Taki kurs stałego kierunku nazywa się loksodromą, krzywą spiralną, przecinającą każdy z południków pod tym samym kątem. Gerard Merkator (1512–1594), flamandzki matematyk, geograf i kartograf, „był poirytowany tym, że żeglarze popełniają wciąż ten sam błąd (z wyznaczeniem dokładnego kierunku) i przywożą niewiarygodne informacje” – a przecież od tych nowych informacji, które wówczas napływały masowo, zależał nie tylko kształt map, lecz także bezpieczeństwo przyszłych użytkowników. „Postanowił więc stworzyć mapę, na której loksodromy będą liniami prostymi, a nie spiralami” – pisze autorka. To założenie wywołało masę konsekwencji, z którymi zmagamy się do dziś, bo – w taki czy inny sposób zmodyfikowane – odwzorowanie Merkatora z 1569 r. zostało już z nami na zawsze, wpływając też w przyszłości m.in. na powstanie przełomowego wynalazku rachunku różniczkowego.

Czy istnieją inne, sprawiedliwsze odwzorowania, w których Północ nie ma takiej optycznej przewagi nad globalnym Południem? Oczywiście, ale znamy je dużo słabiej, z przyczyn pozamerytorycznych: odwzorowanie Merkatora wpisało się znakomicie w triumfalistyczne schematy europejskiego i północnoamerykańskiego kolonializmu.

Jak mapy wpływają na nasze postrzeganie przestrzeni i rzeczywistości?

Znakomity jest w „Mapomatyce” rozdział poświęcony tak niby nieskomplikowanemu zagadnieniu jak mierzenie linii w terenie i na mapie. Zagłębiamy się dzięki temu w teorię fraktali i zyskujemy wiedzę o następującym paradoksie: linie stają się tym dłuższe, im dokładniej je mierzyć. W rozdziale o mapach schematycznych – choćby takich jak plan metra – Rowińska nie tylko opowiada o historii i rozmaitych paradoksach najstarszej kolei podziemnej świata, czyli londyńskiego The Tube, lecz także pozwala nam zrozumieć, jak przebiega selekcja informacji przy pracy kartograficznej. Selekcja informacji, która może mieć realny wpływ na rzeczywistość.

Klasyczny schemat metra w Londynie, stworzony przez Henry’ego Becka w latach 30. zeszłego wieku, niemal całkowicie pozbawiony szczegółów geograficznych (wyjąwszy umowne położenie Tamizy), „zmienił wizerunek metra: poplątana i skomplikowana sieć stała się przejrzysta i łatwa w nawigacji. Zredukowanie odległości między dalekimi stacjami zachęciło mieszkańców miasta do wyprowadzki z tłocznego centrum na przedmieścia, które nie wydawały się już tak odległe” – zauważa Rowińska, po czym swobodnie przystępuje do refleksji z dziedziny topologii matematycznej.

I tak to tutaj działa: od mostów nad Pregołą w Królewcu do teorii grafów (skądinąd uroczej), od matematyki wyborczej do struktury gett w amerykańskich miastach, od katastrof lotniczych do mapowania oceanów za pomocą rachunku prawdopodobieństwa, od trzęsień ziemi do badań nad wewnętrzną budową planet. Czyta się to świetnie i nic dziwnego, że Austriacy przyznali niemieckiemu przekładowi „Mapomatyki” nagrodę dla najlepszej książki naukowej roku.

„Mapomatyka” – zbudowana wedle najlepszych wzorców anglosaskiej literatury popularnonaukowej – płynnie przechodzi od ogólnej refleksji do anegdoty, od abstrakcji do konkretu. Nauka zaszyta w tym tekście bynajmniej nie przeraża, raczej buduje w czytelniku refleksję, że między nauczaniem matematyki w polskich szkołach a umiejętną, przyjazną popularyzacją wiedzy matematycznej istnieje jakaś monstrualna przepaść. Na szczęście można ją zasypywać, czytając mądre książki. ©Ⓟ