Umowa dla cudzoziemca w formie skanu? To ryzykowne dla pracodawcy

Cudzoziemiec mieszka w innym województwie niż to, w którym znajduje się biuro pracodawcy. Do tego opiekuje się małym dzieckiem, które często choruje, i przyjazd do innego województwa jest utrudnieniem. Strony negocjowały warunki umowy o pracę przez internet (m.in. poprzez Skype i wymianę e-maili). Warunki umowy zostały później przedstawione cudzoziemcowi do akceptacji w formie załącznika do e-maila od pracodawcy (ze skanem egzemplarza umowy podpisanego przez osobę reprezentującą pracodawcę). Cudzoziemiec odpisał na wiadomość, akceptując warunki umowy, a umówionego dnia rozpoczął wykonywanie pracy, jednak nie przesłał pracodawcy podpisanego przez siebie egzemplarza umowy. Czy na podstawie takich ustaleń doszło do zawarcia ważnej umowy o pracę?